lucifer

位运算

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我这里总结了几道位运算的题目分享给大家,分别是 136和137, 260 和 645, 总共加起来四道题。 四道题全部都是位运算的套路,如果你想练习位运算的话,不要错过哦~~

前菜

开始之前我们先了解下异或,后面会用到。

  1. 异或的性质

两个数字异或的结果a^b是将 a 和 b 的二进制每一位进行运算,得出的数字。 运算的逻辑是果同一位的数字相同则为 0,不同则为 1

  1. 异或的规律
  • 任何数和本身异或则为0

  • 任何数和 0 异或是本身

  1. 异或运算满足交换律,即:

a ^ b ^ c = a ^ c ^ b

OK,我们来看下这三道题吧。

136. 只出现一次的数字1

题目大意是除了一个数字出现一次,其他都出现了两次,让我们找到出现一次的数。我们执行一次全员异或即可。

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class Solution:
def singleNumber(self, nums: List[int]) -> int:
single_number = 0
for num in nums:
single_number ^= num
return single_number

复杂度分析

  • 时间复杂度:$O(N)$,其中N为数组长度。
  • 空间复杂度:$O(1)$

137. 只出现一次的数字2

题目大意是除了一个数字出现一次,其他都出现了三次,让我们找到出现一次的数。 灵活运用位运算是本题的关键。

Python3:

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class Solution:
def singleNumber(self, nums: List[int]) -> int:
res = 0
for i in range(32):
cnt = 0 # 记录当前 bit 有多少个1
bit = 1 << i # 记录当前要操作的 bit
for num in nums:
if num & bit != 0:
cnt += 1
if cnt % 3 != 0:
# 不等于0说明唯一出现的数字在这个 bit 上是1
res |= bit

return res - 2 ** 32 if res > 2 ** 31 - 1 else res
  • 为什么Python最后需要对返回值进行判断?

如果不这么做的话测试用例是[-2,-2,1,1,-3,1,-3,-3,-4,-2] 的时候,就会输出 4294967292。 其原因在于Python是动态类型语言,在这种情况下其会将符号位置的1看成了值,而不是当作符号“负数”。 这是不对的。 正确答案应该是 - 4,-4的二进制码是 1111…100,就变成 2^32-4=4294967292,解决办法就是 减去 2 ** 32 。

之所以这样不会有问题的原因还在于题目限定的数组范围不会超过 2 ** 32

JavaScript:

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var singleNumber = function(nums) {
let res = 0;
for (let i = 0; i < 32; i++) {
let cnt = 0;
let bit = 1 << i;
for (let j = 0; j < nums.length; j++) {
if (nums[j] & bit) cnt++;
}
if (cnt % 3 != 0) res = res | bit;
}
return res;
};

复杂度分析

  • 时间复杂度:$O(N)$,其中N为数组长度。
  • 空间复杂度:$O(1)$

645. 错误的集合

和上面的137. 只出现一次的数字2思路一样。这题没有限制空间复杂度,因此直接hashmap 存储一下没问题。 不多说了,我们来看一种空间复杂度$O(1)$的解法。

由于和137. 只出现一次的数字2思路基本一样,我直接复用了代码。具体思路是,将nums的所有索引提取出一个数组idx,那么由idx和nums组成的数组构成singleNumbers的输入,其输出是唯二不同的两个数。

但是我们不知道哪个是缺失的,哪个是重复的,因此我们需要重新进行一次遍历,判断出哪个是缺失的,哪个是重复的。

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class Solution:
def singleNumbers(self, nums: List[int]) -> List[int]:
ret = 0 # 所有数字异或的结果
a = 0
b = 0
for n in nums:
ret ^= n
# 找到第一位不是0的
h = 1
while(ret & h == 0):
h <<= 1
for n in nums:
# 根据该位是否为0将其分为两组
if (h & n == 0):
a ^= n
else:
b ^= n

return [a, b]

def findErrorNums(self, nums: List[int]) -> List[int]:
nums = [0] + nums
idx = []
for i in range(len(nums)):
idx.append(i)
a, b = self.singleNumbers(nums + idx)
for num in nums:
if a == num:
return [a, b]
return [b, a]

复杂度分析

  • 时间复杂度:$O(N)$
  • 空间复杂度:$O(1)$

260. 只出现一次的数字3

题目大意是除了两个数字出现一次,其他都出现了两次,让我们找到这个两个数。

我们进行一次全员异或操作,得到的结果就是那两个只出现一次的不同的数字的异或结果。

我们刚才讲了异或的规律中有一个任何数和本身异或则为0, 因此我们的思路是能不能将这两个不同的数字分成两组 A 和 B。
分组需要满足两个条件.

  1. 两个独特的的数字分成不同组

  2. 相同的数字分成相同组

这样每一组的数据进行异或即可得到那两个数字。

问题的关键点是我们怎么进行分组呢?

由于异或的性质是,同一位相同则为 0,不同则为 1. 我们将所有数字异或的结果一定不是 0,也就是说至少有一位是 1.

我们随便取一个, 分组的依据就来了, 就是你取的那一位是 0 分成 1 组,那一位是 1 的分成一组。
这样肯定能保证2. 相同的数字分成相同组, 不同的数字会被分成不同组么。 很明显当然可以, 因此我们选择是 1,也就是
两个独特的的数字在那一位一定是不同的,因此两个独特元素一定会被分成不同组。

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class Solution:
def singleNumbers(self, nums: List[int]) -> List[int]:
ret = 0 # 所有数字异或的结果
a = 0
b = 0
for n in nums:
ret ^= n
# 找到第一位不是0的
h = 1
while(ret & h == 0):
h <<= 1
for n in nums:
# 根据该位是否为0将其分为两组
if (h & n == 0):
a ^= n
else:
b ^= n

return [a, b]

复杂度分析

  • 时间复杂度:$O(N)$,其中N为数组长度。
  • 空间复杂度:$O(1)$

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